Question

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC．

（1）若∠CPA=30°，求PC的长；

（2）探究：当点P在AB的延长线上运动时，是否总存在∠PCB=∠CAB？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)PC=cm;(2)存在，理由详见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接OC,由切线的性质得OC⊥PC,然后根据三角函数定义可求PC的值；（2）由切线的性质得∠OCB+∠PCB=90°,因为AB是圆的直径，根据“直径所对的圆周角是直角”得∠A+∠ABC=90°,根据等角的余角相等，可知∠PCB=∠CAB.归纳：连接圆心与切点之间的半径是常见的辅助线.

试题解析：（1）连接OC，

∵PC为⊙O的切线，

∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，

∴在Rt△PCO中，tan∠CPA=，

又∠CPA=30°，AB=6cm，

∴（cm），

（2）存在．证明如下：

∵PC为⊙O的切线，

∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°

又∵OB=OC，

∴∠OCB=∠ABC，

∴∠PCB=∠CAB．

考点：1、切线的性质；2、圆周角定理的推论.