Question

如图，已知抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．

（1）若抛物线过点M（-2，-2），求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，解答下列问题：

①求出△BCE的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点P，使CP+EP的值最小，求出点P的坐标．

Answer

(1)a=4;(2)①6;②P(-1,).

【解析】

试题分析：(1)将点（-2，-2）代入抛物线的解析式，即可求出a的值；（2）①令y=0,代入抛物线解析式，即可求出相应的x的值，从而求出点B、C的坐标，令x=0，代入抛物线解析式，可求出对应的y的值，从而求出点E的坐标，然后利用三角形面积公式，即可求得△BCE的面积；②由于点B、C关于抛物线的对称轴对称，所以连接BE,交对称轴于点P,此交点即为所求的位置，此时，BE的值就是PC+PE的最小值，由于点B、E的坐标已求出，所以可用待定系数法求得直线BE的解析式，从而求出点P的坐标.

试题解析：（1）∵点M（-2，-2）在抛物线上，

∴，

解得：；

（2）①由（1）得抛物线解析式为，

令时，得：，

解得：，

∵点B在点C的左侧，

∴B（﹣4，0），C（2，0），

∴，

当时，得：，

∴E（0，-2），

∴，

∴；

②由抛物线解析式，得对称轴为直线，

根据C与B关于抛物线对称轴直线对称，连接BE，与对称轴交于点P，即为所求，

设直线BE解析式为，

将B（﹣4，0），E（0，-2）代入得：，

解得：，

∴直线BE解析式为，

将代入，

得：，

∴P（﹣1，）．

考点：1、利用轴对称求最短距离；2、二次函数的图象和性质.