Question

某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：DP＝DQ；

（2）如图，小明在图①的基础上做∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

（3）如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP＝3:4，请帮小明算出△DEP的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）PE＝QE．证明见解析；（3）△DEP的面积为.

【解析】

试题分析：本题是一道几何证明题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识点，试题难度不大，但要注意第（3）题中认真计算，避免出错.

求证DP＝DQ;只需证明△ADP≌△CDQ即可得到DP＝DQ.解题的关键是找出∠PDC的两个余角相等即∠ADP ＝∠CDQ，两三角形全等的条件就具备了.

PE＝QE．只需证明△PDE≌△QDE即可得到，由（1）的结论DP＝DQ加上DE是∠PDQ的平分线易用SAS证得结论.

（3）由AB:AP＝3:4，AB＝6可求AP＝8,BP＝2；直接由（1）和（2）的结论AP＝CQ、PE＝QE设CE＝x，则PE=8-x，利用勾股定理求得Rt△PEB的边PE，由此可得EQ的长度，这样△DEP的面积就不难求得了.

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°

∵∠PDQ＝90°

∴∠ADP+∠PDC＝90°

∠CDQ+∠PDC＝90°

∠ADP＝∠CDQ

在△ADP与△CDQ中

∴△ADP≌△CDQ(ASA)

∴DP＝DQ

（2）【解析】
PE＝QE．证明如下：

∵ DE是∠PDQ的平分线

∴∠PDE＝∠QDE

在△PDE与△QDE中

∴△PDE≌△QDE(SAS)

∴PE＝QE

（3）【解析】
∵AB:AP＝3:4，AB＝6

∴AP＝8,BP＝2,

由（1）知：△ADP≌△CDQ 则AP＝CQ＝8

由（2）知：△PDE≌△QDE，PE＝QE

设CE＝x，则PE＝QE＝CQ-CE＝8-x

在Rt△PEB中，BP＝2,BE＝6＋x，PE＝8-x

由勾股定理得：22＋（6＋x）2＝（8-x）2

解得：x＝

∴

∴△DEP的面积为：．

考点：1、正方形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理.