Question

已知：如图△ABC中，∠ACB=90°，点E是边BC上一点，过点E作FE⊥BC（垂足为E）交AB于点F，且EF=AF，以点E为圆心，EC长为半径作⊙E,交BC于点D．

（1）求证：直线AB是⊙E的切线；

（2）设直线AB和⊙E的公共点为G，AC=8，EF=5，连接EG，求⊙E的半径r．

Answer

（1）证明详见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）本题考查切线的判定，要证某一条直线是圆的切线，已知此线过圆上的某点，连接圆心和该点，证垂直即可.如图，过点E作EG⊥AB于点G，连接EA，根据角平分线的性质得到EG=EC即可证得斜边AB是⊙E的切线；

（2）由（1）可知，直线AB与⊙O的公共点G为切点，由切线长定理可得：AG=AC=8．由EF=AF，EF=5，可得：FG=3，在Rt△FEG中由勾股定理易求GE的长度，即⊙E的半径r．

试题解析：

【解析】
（1）过点E作EG⊥AB于点G，连接EA；

∵AF=EF，∠FEA+∠AEC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，

∴∠FEA=∠FAE．

∴∠FAE=∠EAC．

∴AE为角平分线．

∴EG=EC．

∴直线AB是⊙E的切线．

（2）由（1）可知，直线AB与⊙O的公共点G为切点，

∴EG=r，EG⊥AB．

∵∠ACB=90°，EC长为半径，

∴AC是⊙E的切线．

∴AG=AC=8．

∵EF=AF，EF=5，

∴AF=5．

∴FG=AG-AF=8-5=3，

在Rt△EFG中，根据勾股定理，得：

,

∴⊙E的半径r=4．

考点：1、切线的判定；2、切线长定理；3、勾股定理.