Question

在平面直角坐标系xOy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（-1，0）．

（1）请直接写出点B，C的坐标：B（   ，   ），C（   ，   ）；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线解析式；

（3）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A，B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（2）中的抛物线交于第一象限的点M．当AE=2时，抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）、；（2）；（3）存在，P点坐标为（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，）.

【解析】

试题分析：（1）如图，已知∠CAB=600，所以∠ACO=300，所以AC=2AO,又由A（-1，0）．可知AO=1，所以AC=2，

在Rt△ACB中，∠ABC=300，所以AB=2AC,即AB=4，所以点B的坐标是（3,0）由勾股定理可得CO=.所以

点B、C的坐标分别为：、.

如图，已知抛物线与x轴两交点A、B的坐标，可设抛物线的解析式为：，再由点C

的坐标求出a的值即可求解.

（3）求满足使△PEM为等腰三角形的动点P的坐标，一般地，当一等腰三角形的两腰不明确时，应分类讨论如下：①当EP=EM时，即以点E为圆心，以EM为半径作圆与对称轴的交点即为所求点P；②当EM=PM时，即以点M为圆心，以EM为半径作圆与对称轴的交点即为所求点P；③当PE=PM时，线段EM的垂直平分线与对称轴的交点即为所求点P.先由已知求证△CAE为等边三角形，过点M作MN⊥x轴，求出点M的坐标，再依次求出上述各种情况下满足条件的点P的坐标.

试题解析：

【解析】
（1）、.

（2）∵点A（-1，0），B（3，0），

∴可设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为，

∵点C（0，）也在此抛物线上，

∴，  解得：，

∴此抛物线的解析式为即．

存在．如图所示：

∵AE=2，

∴OE=1，

∴E（1，0），此时，△CAE为等边三角形．

∴∠AEC=∠A=60°．

又∵∠CEM=60°，

 ∴∠MEB=60°．

∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称．

∵C（0，），

∴M（2，）．

过M作MN⊥x轴于点N（2，0），

∴MN=．

∴ EN=1．

∴．

若△PEM为等腰三角形，则：

①如图1，当EP=EM时，∵EM=2，且点P在直线x=1上，∴P（1，2）或P（1，-2）．

②如图2，当EM=PM时，点M在EP的垂直平分线上，∴P（1，）．

③如图3，当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线x=1的交点，∴P（1，）．

∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，-2）或（1，）或（1，）时，△EPM为等腰三角形．

考点,1、求二次函数解析式；2、动点问题-满足等腰三角形的点的坐标.