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如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD. (1)求证:四边...

如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD.

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(1)求证:四边形AODE是菱形;

(2)若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”,其余条件不变,则四边形AODE的形状是什么?说明理由.

 

(1)证明见解析;(2)矩形,理由见解析. 【解析】 试题分析:(1)根据矩形的性质求出OA=OD,证出四边形AODE是平行四边形即可;(2)根据菱形的性质求出∠AOD=90°,再证出四边形AODE是平行四边形即可. 试题解析:(1)∵矩形ABCD的对角线相交于点O, ∴AC=BD(矩形对角线相等),OA=OC=AC,OB=OD=BD(矩形对角线互相平分).∴OA=OD . ∵DE∥CA ,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形). ∴四边形AODE是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形). (2)矩形,理由如下: ∵DE∥CA,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形. ∵菱形ABCD,∴AC⊥BD. ∴∠AOD=90°. ∴平行四边形AODE是矩形. 考点:1.矩形的判定和性质;2.平行四边形的判定;3.菱形的判定和性质.
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考点分析:
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