Question

已知，△ABC为等边三角形，点P是射线CM上一点，连接AP，把△ACP绕点A按顺时针方向旋转60°，得△ABD，直线BD与射线CM交于点E，连接AE.

（1）如图，①求∠BEC的度数；

②若AE=2BE，猜想线段CE、BE的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图，若AE=mBE，求的值．

Answer

见试题解析．

【解析】

试题分析：⑴ 为等边三角形，点是射线上一点，连接，把△ACP绕点A按顺时针方向旋转60°，得，旋转得到，所以≌，根据角的关系可得

⑵再由得到，已知所以即可得. .

⑶有(2)证明可知,因为所以，即可得

试题解析：.(1)∵∵△ACP旋转得到△ABD

∴△ACP≌△ABD

∴∠ACP=∠ABD              1分

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60°

∵∠BCP+∠ACP=∠ACB

∴∠BCP+∠ABD=∠ACB=60°

∵∠BCP+∠ABD+∠ABC+∠BEC=180°

∴∠BEC=60°              2分

(２) CE=3BE              3分

在EC上截取EF=EB,连结BF

∵∠BEC=60°, EF=EB

∴△BEF是等边三角形

∴∠EBF=60°,EF=EB=BF             4分

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=60°,AB=BC

∵∠EBF-∠ABF=∠EBA, ∠ABC-∠ABF=∠FBC

在△EAB和△FBC中,

∴△EAB≌△FBC(SAS)

∴CF=AE              6分

∵AE=2BE

∴CF=2BE              7分

∴CE=CF+EF=3BE

(3)有(2)证明可知CF=AE，             9分

∵AE=mBE

∴CF=mBE             10分

∴CE=CF+EF=(m+1)BE              11分

∴              12分

考点：１．三角形全等 ２．等边三角形的性质． ３．线段的倍分关系．