Question

如图：在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=4，点O是AC的中点；回答下列问题：

（1）∠BAC=      °

（2）画出将△ABC绕点O旋转180°得到的△A₁DC₁(A→A₁  B→D  C→C₁），写出四边形ABCD的形状。

（3）尺规作图：在图中作出△ABC的高线AE（保留作图痕迹），并回答在四边形ABCD的边上（点A除外）是否存在点F，使∠EAC=∠EFC; 若存在点F，写出这样的点F一共有几个？并直接写出DF的长。若不存在这样的点F，请简要说明理由。

Answer

（1）900；（2）平行四边形；（3）存在一个这样的点，.

【解析】

试题分析：（1）已知三角形三边长度，易用勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形.（2）根据旋转的性质作图后,由旋转的性质易得AB//CD、AD//BC，故四边形ABCD是平行四边形；（3）可以把∠EAC看做是弧BC的圆周角，则点E、A、C三点共圆，根据AE⊥BC，可知AC是圆的直径，故以点O为圆心，以AC为直径作圆，圆与四边形ABCD的边的交点即为所求点F，此时易得∠AFC=900；因为△ADC是△ABC绕点O旋转得来的，可根据三角形的面积及勾股定理求得CF、AF的长度，进而可得DF的长度.

试题解析：

【解析】
（1）∵在△ABC中，AB=2，BC=，AC=4，

∴；

∴

∴

（20如下图所示，△A1DC1即为所求△.由旋转可得：∠BCA=∠DAC；∠BAC=∠DCA

∴AB//CD；AD//BC

∴四边形ABCD是平行四边形.

如上图所示，AE即为所求高线，有一个符合条件的点，点F即为所求点.

∵∠AEC=900，点O是AC的中点

∴点E、A、C三点共圆，且点O为圆心，AC为⊙O的直径，

∴∠EAC=∠EFC；∠AFC=900

∵△ADC是△ABC绕点O旋转得来的，

∴AD=BC；CD=AB

∴

∴

∴.

考点：1、勾股定理的及逆定理；2、平行四边形的判定；3、圆周角定理.