Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．连接OC交AE于点H。

（1）求证：GC⊥OC．

（2）求证：AF=CF．

（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．

Answer

（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）.

【解析】

试题分析：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．(1)连结OC，由C是劣弧AE的中点，由垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可求解；(2)连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；

(3)在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF；然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可求解．

试题解析：

（1）证明：如图，连结OC，

∵C是劣弧AE的中点，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠2+∠BCD=90°，

而CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD=90°，

∴∠B=∠2，

∵AC弧=CE弧，

∴∠1=∠B，

∴∠1=∠2，

∴AF=CF；

（3）【解析】
在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，

∴DF=AF=1，

∴AD=DF=，

∵AF∥CG，

∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，

∴AG=．

考点：1、切线的判定；2、等腰三角形的判定与性质；3、垂径定理；4、圆周角定理；4、相似三角形的判定与性质．