Question

如图，已知△OAB的顶点A（﹣6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．

（1）写出C，D两点的坐标；

（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；

（3）证明AB⊥BE．

Answer

（1）C（2，0），D（0，6）；（2），顶点E的坐标是（-2，8）；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握，解题时根据条件设出适当的解析式，能使计算简便．（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标；

（2）由于抛物线过点A（-6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）（a≠0），再将D（0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，则AB2+BE2=AE2，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．

试题解析：

【解析】
（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，

∴△ODC≌△OAB，

∴OC=OB=2，OD=OA=6，

∴C（2，0），D（0，6）；

（2）∵抛物线过点A（-6，0），C（2，0），

∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）（a≠0），

∵D（0，6）在抛物线上，

∴6=-12a，

解得a=，

∴抛物线的解析式为

∴

∵

∴顶点E的坐标为（-2，8）；

（3）连接AE．

∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），

∴AB2=62+22=40，BE2=（-2-0）2+（8-2）2=40，AE2=（-2+6）2+（8-0）2=80，

∴AB2+BE2=AE2，

∴AB⊥BE．

考点：1、二次函数综合题；2、旋转的性质．