Question

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如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题：

（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）

Answer

（1）BF=CD．证明详见解析；（2）不成立，；（3）.

【解析】

试题分析：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD，即可得到BF=CD；

（2）如答图③所示，连接OC、OD，可证明△BOF∽△COD，进而求出相似比为 ；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，进而可求相似比为.

试题解析：

【解析】
（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，

∴OB=OC，∠BOC=90°．

∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，

∴OF=OD，∠DOF=90°．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

∵在△BOF与△COD中，

∴△BOF≌△COD（SAS），

∴BF=CD．

（2）答：（1）中的结论不成立．

如答图③所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，

∴ ，∠BOC=90°

∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，

∴，∠DOF=90°．

∴

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF与△COD中，

∵，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ ．

（3）如答图④所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，

∴ ，∠BOC=90°

∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，

∴，∠DOF=90°．

∴

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF与△COD中，

∵，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ ．

考点：几何图形变换综合题．