Question

如图，已知：为边长是的等边三角形，四边形为边长是6的正方形. 现将等边和正方形按如图①的方式摆放，使点与点重合，点、、在同一条直线上，从图①的位置出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向右匀速运动，当点与点重合时暂停运动，设的运动时间为秒（）.

（1）在整个运动过程中，设等边和正方形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式；

（2）如图②，当点与点重合时，作的角平分线交于点，将绕点逆时针旋转，使边与边重合，得到. 在线段上是否存在点，使得为等腰三角形. 如果存在，求线段的长度；若不存在，请说明理由.

（3）如图③，若四边形为边长是的正方形，的移动速度为每秒 个单位长度，其余条件保持不变. 开始移动的同时，点从点开始，沿折线以每秒个单位长度开始移动，停止运动时，点也停止运动. 设在运动过程中，交折线于点，则当时，求的值.

Answer

（1）当0≤t＜ 时，S＝ t2  ， 当 ≤t≤6时，S＝；

（2）①AN=AH=4时，EH＝，②AH=NH时，EH＝；（3）t＝.

【解析】

试题分析：（1）分两种情况利用三角形的面积公式可以表示出0≤t＜ 时重叠部分的面积，

当≤t≤6时用S△ABC-就可以求出重叠部分的面积．

（2）当点A与点D重合时，BE＝CE＝ 

，再由条件可以求出AN的值，分三种情况讨论求出EH的值，①AN=AH=4时，②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，从而可以求出答案．

（3）再运动中当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；当2≤t≤4时，如图3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．

试题解析：（1）当0≤t＜ 时，S＝ t2

当 ≤t≤6时，S＝．

（2）当点A与点D重合时，BE＝CE＝，

∵BM平分∠ABE，

∴∠MBE＝∠ABE＝30°

∴ME=2，

∵∠ABM=∠BAM，

∴AM=BM=4，

∵△ABM≌△ACN，

∴∠CAN=30°，AN=4

①AN=AH=4时，EH＝＝，

②AN=NH=4时，此时H点在线段AG的延长线上，∴舍去，

③AH=NH时，此时H点为线段AG的中垂线与AG的交点，如图1，

∴AK＝ AN＝2，AH＝ 

∴EH＝  ＝．

（3）当0≤t＜2时，如图2，△PEC∽△EFQ，

∴，

∴，

∴t＝.

考点：1.正方形的性质；2.二次函数的应用；3.全等三角形的判定与性质；4.等腰三角形的判定.