Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，

∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.

⑴△EFG的边长是___________ （用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；

⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求

①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；

②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；

⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.

Answer

(1)2；（2）①y=，②分两种情况：Ⅰ．当2＜x＜3时，y=,

Ⅱ．当3≤x≤6时，y=x2−；(3)当 x=时，y最大=．

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的三边相等，则△EFG的边长是点E移动的距离；根据等边三角形的三线合一和F点移动速度是E点移动速度的2倍，即可分析出BF=4，此时等边三角形的边长是2，则点G和点D重合；

（2）①当0＜x≤2时，重叠部分的面积即为等边三角形的面积；

②当2＜x≤6时，分两种情况：当2＜x＜3时和当3≤x≤6时，进行计算；

（3）分别求得（2）中每一种情况的最大值，再进一步比较取其中的最大值即可．

试题解析：

【解析】
（1）∵点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，且F点移动速度是E点移动速度的2倍，

∴BF=2BE=2x，

∴EF=BF-BE=2x-x=x，

∴△EFG的边长是x；

过D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，连接DE、DF．

在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，

∴DH=CH•tan30°=3×=．

当x=2时，BE=EF=2，

∵△EFG是等边三角形，且DH⊥BC交点H，

∴EH=HF=1.

∴DE=DF==2，

∴△DEF是等边三角形，

∴点G的位置在D点．

（2）①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y=；

②分两种情况：

Ⅰ．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，

△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，

∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．

∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，

∴GM=（3x-6），

由勾股定理得：MN=（3x-6），

∴S△GMN=×GM×MN=×（3x-6）×（3x-6）=（3x-6）2，

所以，此时y=-（3x-6）2=；

Ⅱ．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，

△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，

∵EC=6-x，

∴y=（6-x）2=x2−；

（3）当0＜x≤2时，

∵y=x2，在x＞0时，y随x增大而增大，

∴x=2时，y最大=；

当2＜x＜3时，∵y=，在x=时，y最大=；

当3≤x≤6时，∵y=x2−；，在x＜6时，y随x增大而减小，

∴x=3时，y最大=．

综上所述：当 x=时，y最大=．

考点：1.二次函数的最值；2.梯形.