Question

如图，等边△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，P为BC上一点，连接EP，作等边△EPQ，连接FQ、EF。

（1）若等边的边长为20，且，求等边的边长；

（2）求证：。

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)在△BEP中，由条件可知∠B=60°，∠BPE=45°，BE=10，过点E作EM⊥BC于M，通过解直角三角形即可求出EP的长；

（2）取BC边中点N，可证明△ENP≌△EFQ，故NP=FQ.在△ABC中易证△EBN为等边三角形，从而可证BP=EF+FQ.

试题解析：（1）过点E作EM⊥BC于M，

∵等边△ABC

∴∠B=60°

∵E为AB的中点，

∴BE=AB=10

在Rt△BEM中，

∴

∴

在Rt△EMP中，

∴

∴，即等边△EPQ的边长为

（2）证明：取BC的中点N，连接NE

∵等边△ABC

∴AB=BC

∵E为AB的中点，F为AC的中点，N为BC的中点

∴EF=BC，BE=AB，BN=BC，EF∥BC

∴EF=BE=BN

∵∠B=60°

∴△EBN是等边三角形

∴EN=BN=EF  ∠ENB=60°

∵EF∥BC

∴∠FEN=60°

∴∠1+∠2=60°

∵等边△EPQ

∴EP=EQ, ∠PEQ=60°

∴∠2+∠3=60°

∴∠1=∠3

在△ENP和△EFQ中

∴△ENP≌△EFQ

∴NP=FQ

∴BP=BN+NP=EF+FQ

考点:1.解直角三角形；2.等边三角形的判定与性质.