Question

已知关于x的方程，

（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根；（4分）

（2）若等腰三角形ABC的一边a＝3，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长.（6分）

Answer

（1）证明见解析；（2）7或8．

【解析】

试题分析：（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根；（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．

试题解析：（1）∵，

∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．

（2）分两种情况：

①若b=c，

∵方程有两个相等的实数根，

∴，解得k=2.

∴此时方程为=0，解得x1=x2=2.

∴△ABC的周长为7.

②若b≠c，则b=a=3或c=a=3，即方程有一根为3，

∵把x=1代入方程，得，解得k=3.

∴此时方程为，解得x1=2，x2=3 ∴方程另一根为2.

∴△ABC的周长为8．

综上所述，所求△ABC的周长为7或8．

考点：1.一元二次方程根的判别式；2.三角形三边关系；3.等腰三角形的性质；4.分类思想的应用．