Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（21，0），C（0，6），动点D在线段AO上从点A以每秒2个单位向点O运动，动点P在线段BC上从点C以每秒1个单位向点B运动．若点D点P同时运动，当其中一个动点到达线段另一个端点时，另一个动点也随之停止.

（1）求点B的坐标（1分）；

（2）设点P运动了t秒，用含t的代数式表示△ODP的面积S（3分）；

（3）当P点运动某一点时，是否存在使△ODP为直角三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由（8分）.

Answer

（1）（21，6）；（2）（）；（3）（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.

【解析】

试题分析：（1）由A（21，0），C（0，6），根据矩形的性质即可得点B的坐标；（2）由AD=2t得OD=，从而由三角形面积公式即可得，根据点D点P同时运动，当其中一个动点到达线段另一个端点时，另一个动点也随之停止，可得t的取值范围；（3）分∠POD=90°，∠PDO=90°，∠OPD=90°三种情况讨论即可.

试题解析：（1）∵四边形OABC是矩形，A（21，0），C（0，6），∴B的坐标为（21，6）.

（2）∵根据题意，得AD=2t，OD=，

∴.

∵点D点P同时运动，当其中一个动点到达线段另一个端点时，另一个动点也随之停止，

∴由，得.

∴t的取值范围为.

∴（）.

（3）存在. 如图，过点P作PE⊥OA于点E，

∵OC=PE=6，CP=OE=t，AD=2t，OD=，ED=，

∴根据勾股定理，得.

若△ODP为直角三角形，分三种情况：

①∠POD=90°，则点P与点C重合，点D与点A重合，此时，P（0，6）.

②∠PDO=90°，则点D与点E重合，有OE=OD，即t=，解得t=7，此时，P（7，6）.

③∠OPD=90°，则，即，即，

解得t=3或t=4，此时，P（3，6）或（4，6）.

综上所述，若△ODP为直角三角形，则P（0，6）或（7，6）或（3，6）或（4，6）.

考点：1.双动点问题；2. 矩形的性质；3.由实际问题列函数关系式；4.直角三角形的性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用.