Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=15，BC=25，AB=DC=10，动点P从点D出发，以每秒1个单位长的速度沿线段DA的方向向点A运动，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长的速度沿射线CB的方向运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）当t=2时，求△APQ的面积；

（2）若四边形ABQP为平行四边形，求运动时间t；

（3）当t为何值时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

Answer

（1）；（2）10；（3）或．

【解析】

试题分析：（1）过A作AE⊥BC于E，先求出等腰梯形的高AE，当t=2时可求出AP的长，进而可求出△APQ的面积．

（2）如果四边形ABQP为平行四边形则可得出AP=BQ，从而可列出关于t的方程，解出即可得出t的值．

（3）将AP、AQ、PQ分别用t表示出来，然后讨论，①AP=AQ，②AP=PQ，③AQ=PQ，分别解出t的值即可得出答案．

试题解析：（1）过A作AE⊥BC于E，∵AB=DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，又∵AB=DC=10，AD=15，BC=25，∴BE=（BC﹣AD）=5，在RT△ABE中，，当t=2时，AP=AD﹣t=13，

∴△APQ的面积=AP×AE=．

（2）∵四边形ABQP为平行四边形，∴AP=BQ，即AD﹣t=BC﹣2t，∴15﹣t=25﹣2t，解得：t=10秒．

（3）由题意可知：，，；

①当AP=AQ时，不存在；

②当AP=PQ时，，，即：，解得：；

③当AQ=PQ时，即，∴，，

解得（舍去），；

综上可知，当或时，以A、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．

考点：1．梯形；2．一元二次方程的应用；3．等腰三角形的性质；4．勾股定理；5．平行四边形的性质．