Question

已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA、PB、PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°到线段AD，连接BD，下列结论：

①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3； ③∠APB=150°；④

其中正确的结论有  （     ）

A．1个      B．2个    C．3个      D．4个

Answer

D.

【解析】

试题分析： 连PD，如图，

∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，∴AD=AP，∠DAP=60°，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，∴∠DAP=∠PAC，∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确；

∵DA=PA，∠DAP=60°，∴△ADP为等边三角形，∴PD=PA=3，所以②正确；

在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，∵32+42=52，即PD2+PB2=BD2，∴△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，由②得∠APD=60°，∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正确；

∵△ADB≌△APC，∴S△ADB=S△APC，∴S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD=×32+×3×4=，所以④正确．故选D．

考点：1．旋转的性质；2．等边三角形的性质；3．勾股定理的逆定理．