Question

已知AC是菱形ABCD的对角线,∠BAC=60°,点E是直线BC上的一个动点,连接AE,以AE为边作菱形AEFG,并且使∠EAG=60°,连接CG,当点E在线段BC上时(如图1)易证：AB=CG+CE.

（1）当点在E线段BC的延长线上时(如图2),猜想AB、CG、CE之间的关系并证明；

（2）当点在E线段CB的延长线上时(如图3),猜想AB、CG、CE之间的关系.

Answer

（1）AB=CG-CE,证明见解析；（2）AB=CE-CG，证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质可得AC=AD，AE=AG，然后证明∠DAG=∠CAE，可利用SAS证明△ACE≌△ADG，根据全等三角形的性质可得CE=DG，再根据线段的和差关系和等量代换可得答案；

（2）方法与（1）类似可证明△ACG≌△ABE，进而得到BE=CG，然后可得AB=CE﹣CG．

试题解析：(1)AB=CG-CE

∵AC是菱形ABCD的对角线且∠BAC=60°，∴AC=AD.

∵四边形AEFG菱形，∴AE=AG..

∵∠DAC=∠GAE =60°, ∴∠DAG=∠CAE.

∴△ACE≌△ADG(SAS), ∴CE=DG..

∴AB=CD=CG-DG=CG-CE

(2). AB = CE- CG.

同理可证△ACG ≌△ABE(SAS),∴BE=CG..

∴AB =CB= CE- BE=CE-CG．

考点：三角形全等．