Question

如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿B⇒A，B⇒C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．

（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM= _________ 厘米；

（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）PM=;(2)当t=2时，使△PNB∽△PAD，相似比为2：3;（3）3＜a≤6;（4）∵3＜a≤6时，当a=2时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

【解析】

试题分析：（1）要想求出PM的长度,可以利用△ANB∽△APM得到比例,当t=1时，MB=1，NB=1，AM=3，∴PM=;（2）当△PNB∽△PAD时,可以得到比例,∵△ANB∽△APM, ∴，∴,可以求出t;（3）要判断两个梯形的面积是否相等,只需要把各自的面积表示出来,得到方程,方程有解,则存在,由题,△AMP∽△ABN，∴,即，∴PM=，∵PQ=3﹣，当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即，化简得t=，∵t≤3，∴3＜a≤6;（4）由(2)知道,当3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，将两个梯形的面积表示出来,得到方程,方程有解,则a存在,则CN=PM，∴=3﹣t，得t2﹣2at+3a=0，把t=代入，得9a3﹣108a=0，∵a≠0，∴9a2﹣108=0，∴a=±2，∴a=2,当a=2时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

试题解析：（1）当t=1时，MB=1，NB=1，AM=4﹣1=3，

∵PM∥BN,

∴△ANB∽△APM，

∴，

∴PM=;

（2）由题,∵△PNB∽△PAD，

∴，

∵△ANB∽△APM,

∴，

∴,

∴t=2，相似比为2：3;

（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，

∴△AMP∽△ABN，

∴,即，

∴PM=，

∵PQ=3﹣，

当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即==，

化简得t=，

∵t≤3，

∴≤3，

则a≤6，

∴3＜a≤6;

（4）由(2)知道,当3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，

∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，

∴=3﹣t，

两边同时乘以a，得at﹣t2=3a﹣at，

整理，得t2﹣2at+3a=0，

把t=代入，整理得9a3﹣108a=0，

∵a≠0，

∴9a2﹣108=0，

∴a=±2，

∴a=2,

∴存在a，当a=2时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等．

考点：1.三角形的相似;2.一元二次方程;3.不等式.