Question

如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过A、C两点的抛物线与x轴的负半轴上另一交点为B，且tan∠CBO=3．

（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D的坐标；

（2）若点P是射线BD上一点，且以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标.

Answer

（1），D（-2，-1）（2）P的坐标为（）或（）．

【解析】

试题分析：（1）由直线可求得A、C的坐标，再由tan∠CBO=3，可求得B的坐标，用交点式可以求出抛物线解析式，通过配方即可求出顶点D的坐标；

（2）过D作DE⊥AB于E，可以得到∠CAO=∠ABD=45°，直线BD的方程为：，表示出PB的长，因为有一对角相等，所以只需要夹这个角的两边对应成比例，即可得到三角形相似，所以有两种情况：和，分别求出PB，再求出P的坐标即可．

试题解析：（1）连结BC，由直线知，点A（-3，0）、C（0，3）；∴OC=3，∵tan∠CBO=3，∴OB=1，∴B（-1，0）；设，把C（0，3）代入得：，解得：，∴，∵，∴顶点D（）；

（2）过D作DE⊥AB于E，∵D （），B（-1，0），∴DE=1，BE=1，∴∠ABD=45°，∵A（-3，0）、C（0，3），∴OA=OC=3，∴∠CAO=45°，AO=CO=3，∴AC=，∴∠CAO=∠ABD．设直线BD为，把D （），B（-1，0）代入得：，解得：，∴直线BD为．

∵点P在射线BD上，∴设P（）且，则PB=，∵，∴PB=，∵∠CAO=∠ABD，∴有以下两种情况，可以使以点P、A、B为顶点的三角形与△ABC相似：

①当时，即，解得：，∴，∴P（）；

②当时，即，解得：，∴，∴P（）；

∴点P的坐标为（）或（）．

考点：1．二次函数综合题；2．代数几何综合题．