Question

如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G.

（1）求∠BGD的度数

（2）连接CG

①求证：BG+DG=CG

②求的值

Answer

（1）1200   （2）①见解析   ②

【解析】

试题分析：（1）由△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°；（2）①

∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG；‚结合前面求得结论，设出未知数，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出比例性质.

试题解析：【解析】
（1）因为 △ABD是等边三角形，E是AB中点

所以∠ADE=∠BDE=300   所以∠CDG=900 ,

同理∠CBG=900,

∠BGD=1200 ,

（2）①CD=CB，CG=CG，由勾股定理可得BG=DG，

易证△CBG与△CDG全等,

得∠DCG=∠BCG=300 

所以在Rt△CGB和Rt△CGD中可得BG=DG=1/2CG .

所以BG+DG=CG（6分）

②设BG=x,由（2)得CG=2x,

在Rt△CGB中 ，BC2=CG2-BG2=4x2-x2=3x2，

又因AB=BC所以AB2=BC2=3x2,

所以=.

考点：1. 等边三角形的判定与性质2. 全等三角形的判定与性质；3. 菱形的性质；4.勾股定理.