Question

如图,在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．

（1）试判定△ODE的形状,并说明你的理由．

（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你理由．

Answer

（1）△ODE是等边三角形,证明见解析; （2）BD=DE=EC,证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）直观上看△ODE是等边三角形,要证明一个三角形是等边三角形,要么证明三边相等,或者有两个角是60°或者有一个角是60°的等腰三角形,由题, 在等边△ABC中，AB=AC=BC, ∠ABC=∠ACB=60°,又∵OD∥AB，所以∠ABC=∠ODE=60°,同理, ∵OE∥AC，所以∠ACB=∠OED=60°,所以△ODE是等边三角形;（2）直观上看BD=DE=EC,∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，所以∠ABO=∠OBD, ∠ACO=∠OCD,又∵OD∥AB，所以∠OBD=∠ABO=∠BOD.所以BD=OD, ∵OE∥AC，所以∠ACO=∠OCD =∠COE,所以CE=OE,由(1)知△ODE是等边三角形,所以OD=DE=OE,即BD=DE=EC.

试题解析：（1）由题, 在等边△ABC中，AB=AC=BC, ∠ABC=∠ACB=60°,

又∵OD∥AB，

∴∠ABC=∠ODE=60°,

同理, ∵OE∥AC，

∴∠ACB=∠OED=60°,

∴△ODE是等边三角形.

（2）∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠ABO=∠OBD, ∠ACO=∠OCD,

又∵OD∥AB，

∴∠OBD=∠ABO=∠BOD.

∴BD=OD,

∵OE∥AC，

∴∠ACO=∠OCD =∠COE,

∴CE=OE,

由(1)知△ODE是等边三角形,

∴OD=DE=OE,即BD=DE=EC.

考点：平行线的性质和等边三角形的判定.