Question

如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）6.

【解析】

试题分析：（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；

（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．

（1）证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C．

在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

（2）∵△ADF∽△DEC，

∴

又 ∵ CD=AB=8，AD=6，AF= 4.

代入求得DE=12 ，

四边形ABCD是平行四边形，又∵AE⊥BC，∴ AE⊥AD，

在Rt△AED中，由勾股定理可得AE=6.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.平行四边形的性质．