Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径作⊙O，BC交⊙O于点D，E是边AC的中点，ED、AB的延长线相交于点F．

求证：（1）DE为⊙O的切线.

（2）AB•DF=AC•BF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；

（2）证△ABD∽△CAD，推出，证△FAD∽△FDB，推出，即可得出AB：AC=BF：DF．

（1）连结DO、DA，

∵AB为⊙O直径，

∴∠CDA=∠BDA=90°，

∵CE=EA，

∴DE=EA，

∴∠1=∠4，

∵OD=OA，

∴∠2=∠3，

∵∠4+∠3=90°，

∴∠1+∠2=90°，

即：∠EDO=90°，

∵OD是半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠4=∠DBA，

∵∠CDA=∠BDA=90°，

∴△ABD∽△CAD，

∴，

∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，

又∵OD=OB，

∴∠BDO=∠DBO，

∴∠3=∠FDB，

∵∠F=∠F，

∴△FAD∽△FDB，

∴，

∴，

即AB：AC=BF：DF．

考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质．