Question

如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁。若∠ACB=30°，AB=1，CC₁＝x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A₁AD₁△CC₁B；②当x=l时，四边形ABC₁D₁是菱形；③当x＝2时，△BDD₁为等边三角形；④；其中正确的是             （填序号）

Answer

①②③④．

【解析】

试题分析：①根据矩形的性质，得∠DAC=∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1=∠ACB，A1D1=CB，从而证出结论；

②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．

③当x=2时，点C1与点A重合，可求得BD=DD1=BD1=2，从而可判断△BDD1为等边三角形．

④易得△AC1F∽△ACD，根据面积比等于相似比平方可得出s与x的函数关系式．．

①∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD，BC∥AD

∴∠DAC=∠ACB

∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，

∴∠A1=∠DAC，A1D1=AD，AA1=CC1，

在△A1AD1与△CC1B中，

，

∴△A1AD1≌△CC1B（SAS），

故①正确；

②∵∠ACB=30°，

∴∠CAB=60°，

∵AB=1，

∴AC=2，

∵x=1，

∴AC1=1，

∴△AC1B是等边三角形，

∴AB=BC1，

又AB∥BC1，

∴四边形ABC1D1是菱形，

故②正确；

③如图所示：则可得BD=DD1=BD1=2，

∴△BDD1为等边三角形，故③正确．

④易得△AC1F∽△ACD，

∴

解得：S△AC1F=（x-2）2 （0＜x＜2）；故④正确；

综上可得正确的是①②③④．

考点：1．矩形的性质；2。全等三角形的判定与性质；3．等边三角形的判定；4．菱形的判定．