Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，

且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E。

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；

（2）拓展探究：若AC≠BC。

①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；

②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明。

Answer

(1)证明见解析；（2）拓展探究见解析．

【解析】

试题分析：（1）如图1，连接CD，证明△AND≌△CMD，可得DN=DM；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；

（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．

②若BD=kAD，证明思路与①类似．

（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形，

如图1所示，

连接CD，则CD⊥AB，

又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND与△CMD中，

∴△AND≌△CMD（ASA），

∴DN=DM．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED与△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE为等腰直角三角形，

∴AE=NE，

∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．

由（1）证明可知：△DEN∽△MFD

∴，即MF•EN=DE•DF．

同理△AEN∽△MFB，

∴，即MF•EN=AE•BF．

∴DE•DF=AE•BF，

∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF），

∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

由①同理可得：DE•DF=AE•BF，

∴（AE-AD）•DF=AE•（DF-BD）

∴AD•DF=AE•BD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

考点：相似形综合题．