Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．

（1）求证：OE∥AB；

（2）求证：；

（3）若,求的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰梯形的等腰三角形的性质，可得∠B=∠C=∠OEC.，从而判定OE∥AB.

（2）要证明，只需证明四边形OEHF是平行四边形，要证明OEHF是平行四边形，已知它有一组对边平行，只需再说明另一组对边平行，由已知EH⊥AB和圆切线的性质即可得到.

（3）要求，只要证明△EHB∽△DEC，再根据相似三角形的性质来求即可.

（1）在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C.

∵OE=OC，∴∠OEC=∠C. ∴∠B=∠OEC.

∴OE∥AB．

（2）如图，连接OF．

∵⊙O与AB切于点F，∴OF⊥AB.

∵EH⊥AB，∴OF∥EH.

又∵OE∥AB，∴四边形OEHF为平行四边形.

∴EH=OF，∴.

（3）如图，连接DE．

∵CD是直径，∴∠DEC=90°.∴∠DEC=∠EHB.

又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC. ∴.

∵，设，则，

∴. ∴.

考点：1.等腰梯形和等腰三角形的性质；2.平行的判定；3.圆切线的性质；4.圆周角定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理.