Question

如图，在直角坐标平面内，O为原点，抛物线经过点A（6，0），且顶点B（m，6）在直线上．

（1）求m的值和抛物线的解析式；

（2）如在线段OB上有一点C，满足，在x轴上有一点D（10，0），连接DC，且直线DC与y轴交于点E．

①求直线DC的解析式；

②如点M是直线DC上的一个动点，在x轴上方的平面内有另一点N，且以O、E、M、N为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．

Answer

（1）3，；（2）①；②（-5，）或（4，8）或.

【解析】

试题分析：（1）先根据抛物线的顶点B（m，6）在直线上可求出m的值，再用待定系数发即可求出此抛物线的解析式.

（2）①作CH⊥OA，BG⊥OA，再根据平行线分线段成比例定理即可得出CH的长，进而求出C点坐标，再根据D点坐标用待定系数法即可求出直线DC解析式.

②根据菱形的性质即可求出符合条件的N点坐标．

（1）∵顶点B（m，6）在直线上，∴m=3. ∴B（3，6）.

把A、B两点坐标代入抛物线的解析式得，，解得.

∴抛物线的解析式为：.

（2）①如图1，作CH⊥OA，BG⊥OA，

∴CH∥BG，∴△OCH∽△OBG. ∴.

∵OC=2CB，∴，即CH=4. ∴点C的坐标为（2，4）.

∵D（10，0），∴根据题意，解得：.

∴直线DC解析式.

②如图2：∵四边形ENOM是菱形，∴OS=ES=OE=. ∴NK=.

∵ON∥DE，∴tan∠NOK=tan∠EDO=.∴OK=5.∴N1（-5，）.

如图3：∵EM⊥OB，∴ON=2OC.

∵点C的坐标为（2，4），∴N2（4，8）.

③如图4：∵直线DC解析式，∴E（0，5）.

设M（x，），

∵四边形ENOM是菱形，∴EM=OE=5，即，解得x=.∴M.

∴可设N（，y），则，解得y=或y=（舍去）.∴N3.

综上所述，点N的坐标为（-5，）或（4，8）或.

考点：1.二次函数综合题；2.动点问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.菱形的性质；7.分类思想的应用．