Question

正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P在DB所在的直线上，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；

（2）如图2，当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时，延长FP交AB于点M，求证：AP=EF；

（3）如图3，当点P在DB的延长线上时，请你猜想AP与EF的数量关系及位置关系，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP=EF，且AP⊥EF．

【解析】

试题分析：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF．

（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF．

（3）解题思路和方法同（2）．

试题解析：（1）如图1,

证明：连接AC，则AC必过点O，

∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线.

∵OF⊥CD，FOM共线，

∵OM⊥AB，OE⊥BC.

∴∠ABE=∠BEO=∠BMO=90°

∴四边形OEBM是矩形.

∵AC平分∠BCD且OE⊥BC，OF⊥CD，

∴OF= OE

∴矩形OECF是正方形

∴∠MAO=∠OFE=∠AOM=∠OEF=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴OM=OE=OF=AM

∴△AMO≌△FOE（AAS），

∴AP=EF．

（2）如图2,

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四边形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，

且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE（SAS），

∴AP=EF.

（3）AP=EF，且AP⊥EF．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．