Question

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q沿折线CB—BA向点A做匀速运动．

（1）点P将要运行路径AD的长度为      ；点Q将要运行的路径折线CB—BA的长度为         .

（2）当点Q在BA边上运动时，若点Q的速度为每秒2个单位长，设运动时间为t秒．

①求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并求自变量t的取范围；

②求当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

（3）如图2，若点Q的速度为每秒a个单位长（a≤），当t =4秒时：

①此时点Q是在边CB上，还是在边BA上呢？

②△APQ是等腰三角形，请求出a的值．

Answer

（1）5；10；（2） (≤t＜5)；，6；（3）CB，．

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，再根据勾股定理即可求出菱形的边长；

（2）①当0＜t≤时，由题意，得AP=t，点Q在BC上运动，过点B作BE⊥AD，垂足为E，由直角三角形的性质求出BE的长，由三角形的面积公式可得到S与t的关系式；

②当≤t＜5时，点Q在BA上运动，由题意，得AP=t，AQ=10-2t，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的对应边成比例即可得出S关于t的关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答即可；

（3）先判断出等腰三角形的两腰长，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点F，根据△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，进而可得出a的值．

试题解析：（1）5；10

（2）当点Q在BA上运动时，5≤2t＜10，即≤t＜5时.

如图,过点B作BE⊥AD，垂足为E，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE.

由题意可得BE=， AP= t，AQ=10－2t．

∴△AQG∽△ABE, ∴,

∴QG=．

∴，

即 (≤t＜5) ．

∵＜0,所以s有最大值.

∴当t=时，S的最大值为6．

（3） 【解析】
∵a≤，则4a≤5，

∴点Q在CB上，

作QM⊥AD于M，QM交AC于点F,则QM为菱形的高.

由前面可知，QM==4.8

而当点P运行到点M时，QM最小，

所以PQ≥QM，

∵t=4时，PA=4，∴QM>PA.

∴PQ≥MQ＞PA，类似的AQ＞MQ＞PA

∴QA=QP，△APQ是等腰三角形．

∵QM⊥AP

∴AM=AP=2.由△AMF∽△AOD

得, 而AM=2,OD=3,OA=4

∴,

∴．

由△AMF∽△CQF,

,而QF=，FM=，AM=2.

∴CQ=．

而当t=4时，CQ=4a

所以4a= ，解得a=．

考点：1.二次函数；2.相似三角形的判定与性质.