Question

如图，两个同心圆的圆心为O，两圆的半径分别为5，3，其中A，B两点在大圆上，C，D在小圆上，且∠AOB=∠COD．

（1）求证：AC=BD；

（2）若∠AOB=120°，求线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积；

（3）若AB与小圆相切，分别求AB，CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）8，．

【解析】

试题分析：（1）如要证明AC=BD，则通过可证明△AOC≌△BOD即可；

（2）由题意可知线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积，即为扇形AOB的面积，即为△ACO绕O旋转120度后，AC扫过的面积；

（3）切点为E，连接OE，首先利用勾股定理可求出BE的长，进而求出AB的长，再证明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性质即可求出CD的长．

(1)证明：在△AOC和△BOD中，

∵∠AOB=∠COD

∴∠AOC=∠BOD

∵OA=OB，OC=OD

∴△AOC≌△BOD，

∴ AC=BD．

（2）封闭图形的面积=×16=．

（3）【解析】
设切点为E，连接OE，

∵AB与小圆相切，

∴OE⊥AB，AB=2BE

由勾股定理得，BE=4，

∴AB=8．

∵∠AOB=∠COD，，

∴△AOC∽△BOD，

∴

∴CD=．

考点：1.切线的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质．