Question

如图14-1，在锐角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．

计算：求BC的长；

操作：将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．如图14-2,当点C₁在线段CA的延长线上时．

（1）证明：A₁C₁⊥CC₁；

（2）求四边形A₁BCC₁的面积；

探究：

将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．连结AA₁,CC₁，如图14-3．若△ABA₁的面积为5,求点C到BC₁的距离；

拓展：

将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A₁BC₁．点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P₁, 如图14-4．

（1）若点P是线段AC的中点，求线段EP₁长度的最大值与最小值；

（2）若点P是线段AC上的任一点,直接写出线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer

(1)7.(2)证明见解析；；（3）；（4）+，-；，-．

【解析】

试题分析：过点A做AG⊥BC于G，通过解直角三角形得BG和CG的长，从而可求出BC的长；

由旋转易证∠CC1A1 =∠CC1B+∠A1C1B =45°＋45°=90°，故A1C1⊥CC1；四边形A1BCC1的面积=△CC1B的面积+△A1C1B的面积=；由△∽△C1BC易求点C到BC1的距离为.

计算：

【解析】
过点A做AG⊥BC于G，

∵∠ACB = 45°

∴∠GAC = 45°

∴AG=CG

∴在Rt△AGC中， AG=CG ==4

∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3

∴BC=BG+CG=4+3=7．

操作：

（1）证明：由旋转的性质可得∠A1C1B =∠ACB =45°，BC=BC1

∴∠CC1B =∠C1CB =45°

∴∠CC1A1 =∠CC1B+∠A1C1B =45°＋45°=90°

∴A1C1⊥CC1

（2）四边形A1BCC1的面积=△C C1B的面积+ △A1C1B的面积=×7×7+×7×4=．

探究：

【解析】
设△中A1B边为的高为m；△C1CB中BC1边为的高为n．

∵×5m=5

∴m=2

∵∠ABC=∠A1B C1

∴∠ C1BC=∠A1BA

∵

∴△∽△C1BC

∴==

∴n=

∴点C到BC1的距离.

拓展：

（1）过点P做PH⊥BC，得到：PH=CH=2，

∴BH=BC－CH=7－2=5．

在Rt△BHP中，根据勾股定理得：BP==．

①△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段BA的延长线上时，

EP1最小，最小值为B P1－BE=BP－BE=－；

②△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,

EP1最大，最大值为BP1+ BE =BP+ BE =+．

（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足,

∵△ABC为锐角三角形

∴点D在线段AC上

在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．

①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，

点P的对应点P1在线段AB上时，

EP1最小，最小值为 -

② 当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，

点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，

EP1最大，最大值为+7= ．

考点：1.解直角三角形；2.相似三角形.