Question

某商店销售一种商品，每件的进价为2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．请你分析，销售单价多少时，可以获利最大？

Answer

即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5﹣4.25=9.25时，可取得最大利润9112.5元．

【解析】

试题分析：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量．要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大．因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是（13.5﹣x）元了．单个的商品的利润是（13.5﹣x﹣2.5），这时商品的销售量是（500+200x），总利润可设为y元．利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润．

试题解析：设每件商品降价x元，

商品的售价就是（13.5﹣x）元，单个的商品的利润是（13.5﹣x﹣2.5）元，

这时商品的销售量是（500+200x）件．

设总利润为y元，

则y=（13.5﹣x﹣2.5）（500+200x）=﹣200x2+1700x+5500，

∵﹣200＜0，

∴y有最大值；

∴当x=﹣=4.25时，

y最大值==9112.5，

即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5﹣4.25=9.25时，可取得最大利润9112.5元．

考点：二次函数的应用．