Question

如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x的方程x²﹣mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM并延长交x轴于N．

（1）求⊙M的半径．

（2）求线段AC的长．

（3）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．

Answer

(1) ;(2) ；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由OA、OB长是关于x的方程x2﹣mx+12=0的两实根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB为⊙M的直径，即可得到⊙M的半径．

（2）连接OC，根据OB是⊙M直径，得到OC⊥BC，利用面积相等得到OC•AB=OA•OB可以求得OC的长，然后利用勾股定理求得AC的长即可．

（3）连MD，OC，由OB为⊙M的直径，得∠OCB=90°，则∠OCD=90°，由于D为OA的中点，所以CD=OA=OD，因此可证明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切线．

试题解析：（1）∵OA=4∴A（4，0）

又OA•OB长是x2﹣mx+12=0的两根

∴OA•OB=12∴OB=3 故B（0，3）

∵OB为直径

∴半径MB=;

（2）连接OC

∵OB是⊙M直径

∴OC⊥BC

∴OC•AB=OA•OB

∵AB==5

∴OC•5=3•4

∴OC=

∴AC=

（3）∵OM=MC∴∠MOC=∠MCO

又CD是Rt△OCA斜边上中线

∴DC=DO

∴∠DOC=∠DCO

∵∠DOC+∠MOC=90°

∴∠MCO+∠DCO=90°

∴DC⊥MC

∴CD是⊙M的切线

考点：一次函数综合题．