Question

如图⊙O是∆ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE//BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD

（1）求证∠ADB=∠E；

（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由；

（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径.

Answer

（1）证明见解析；（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线，理由见解析；(3) .

【解析】

试题分析：(1)运用圆周角定理，以及平行线的性质得出角之间的关系，得出相等关系;

（2）当点D运动到弧BC中点时，DE是⊙O的切线，理由为：由D为弧BC中点，利用垂径定理的逆定理得到AD垂直于BC，且AD过圆心，由BC与DE平行，利用与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到AD与DE垂直，即可确定出DE为圆的切线．

（3）连接BO，AO，延长AO交BC于点F，由等腰三角形的性质得到AF与BC垂直，且F为BC的中点，求出BF的长，在直角三角形ABF中，理由勾股定理求出AF的长，设圆O的半径为r，在直角三角形OBF中，由AF-AO表示出OF，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆的半径长.

试题解析: （1）证明：在∆ABC中，∵AB=AC,∴∠ABC=∠C

∵DE//BC,∴∠ABC=∠E,∴∠E=∠C

∵∠ADB=∠C

∴∠ADB=∠E

(2)当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线

理由：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O，如图：

∵DE//BC,∴AD⊥ED

∴DE是⊙O的切线

(3)∵AB=5，∴AF=4

设⊙O的半径为r，在Rt∆OBF中，DF=4-r，OB=r，BF=3.

∴r2=32+(4-r)2，解得r=

∴⊙O的半径是.

考点: 1.圆周角定理；2.平行线的性质；3.等腰三角形的性质．