Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”，已知点C的坐标为（0，-），点M是抛物线C₂：y=mx²-2mx-3m(m<0)的顶点.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点P，使得∆PBC的面积最大？若存在，求出∆PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当∆BDM为直角三角形时，请直接写出m的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x₁,y₁)，N(x₂,y₂)，则M、N两点间的距离为MN=.

Answer

（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.

【解析】

试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．

试题解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

，解得，

故C1：y=x2-x-．

依题意，设点P的坐标为（n，n2-n-）(0