Question

如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F.

（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；

（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，请证明△EGD∽△DCF，并求出k的值.

Answer

（1）点F的坐标为（4，1）；（2）证明见解析，k=3．

【解析】

试题分析：（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；

（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值．

试题解析：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4，

∴点E的坐标为（2，2），

将点E的坐标代入y=，可得k=4，

即反比例函数解析式为：y=，

∵点F的横坐标为4，

∴点F的纵坐标==1，

故点F的坐标为（4，1）；

（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°，

∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°，

∴∠CDF=∠GED，

又∵∠EGD=∠DCF=90°，

∴△EGD∽△DCF，

结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），

则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，

在Rt△CDF中，CD=，

∵，即，

∴=1，

解得：k=3．

考点：反比例函数综合题．