Question

平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0），且BC=5，AC=3（如图1）．

图1                             图2

（1）求出该抛物线的解析式；

（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．

①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图1、图2中画出探求）；

②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形?若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣3x；

（2）①当点B位于原点左侧时，S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），

当点B位于原点右侧（含原点O）时，S=m+10．（0≤m＜﹣2），

②存在，m1=﹣1，m2=﹣4，m3=﹣4.4．

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线顶点坐标为（3，﹣），利用顶点式求出即可；

（2）根据当点B位于原点左侧时以及当点B位于原点右侧（含原点O）时，分别分析即可得出答案．

试题解析：（1）由题意，设所求抛物线为y=a（x﹣3）2﹣．①

将点（0，0）代入①，得a=．

∴y=x2﹣3x；

（2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）：

S=S△OBD+S梯形OCAD﹣S△ABC=•4•（﹣m）+（4+3）（5+m）﹣=m+10．

∴S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），

当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）：

S=S梯形OCAD﹣S△OBD﹣S△ABC=（4+3）（5+m）﹣•4•m﹣=m+10．

∴S=m+10．（0≤m＜﹣2）；

②m1=﹣1，m2=﹣4，m3=﹣4.4．

考点：二次函数综合题．