Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N.

（1）求过O，B，E三点的二次函数关系式；

（2）求直线DE的解析式和点M的坐标；

（3）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上．

Answer

（1）过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=﹣x2+x；

（2）直线DE的解析式为：y=﹣x+3；M（2，2）；

（3）点N在函数y= 的图象上．

【解析】

试题分析：（1）首先把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，得方程，解此方程即可；

（2）首先设直线DE的解析式为：y=kx+b，然后将点D，E的坐标代入即可求得直线DE的解析式，又由点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，可得点M的纵坐标为2，求得点M的坐标；

（3）由反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M，可求该反比例函数的解析式，又由点N在BC边上，B（4，2），可得点N的横坐标为4．然后由点N在直线y=﹣x+3上，求得点N的坐标，即可判断．

试题解析：（1）设过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=ax2+bx+c；

把O（0，0），B（4，2），E（6，0）代入y=ax2+bx+c，得，

解得：，

∴过O，B，E三点的二次函数关系式为：y=﹣x2+x；

（2）设直线DE的解析式为：y=kx+b，

∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），

∴，

解得，

∴直线DE的解析式为：y=﹣x+3；

∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，

∴点M的纵坐标为2．

又∵点M在直线y=﹣x+3上，

∴2=﹣x+3．

∴x=2．

∴M（2，2）；

（3）∵y=（x＞0）经过点M（2，2），

∴m=4．

∴该反比例函数的解析式为：y=，

又∵点N在BC边上，B（4，2），

∴点N的横坐标为4．

∵点N在直线y=﹣x+3上，

∴y=1．

∴N（4，1）．

∵当x=4时，y==1，

∴点N在函数y= 的图象上．

考点：反比例函数综合题．