Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分和

（1）求证：；

（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连结DF交AE于G，已知CD=5，AE=8.

①求BC的长；

②求值.

Answer

（1）证明见解析；

（2）①BC =10； ②=．

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是▱，可知AB∥CD，那么就有∠BAD+∠ADC=180°，又AE、DE是∠BAD、∠ADC的角平分线，容易得出∠DAE+∠ADE=90°，即AE⊥DE；

（2）①由于AD∥BC，AE是角平分线，容易得∠BAE=∠BEA，那么AB=BE=CD=5，同理有CE=CD=5，容易得出BC =BE+CE=10；

②在Rt△ADE中，利用勾股定理可求DE，由于AD是直径，所以tan∠FAG=，而∠FAG=∠DAE，于是=，即可求．

试题解析：（1）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°.

又∵AE、DE平分∠BAD、∠ADC，

∴∠DAE+∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，

∴AE⊥DE；

（2）①在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=BC，

∴∠DAE=∠BEA.

又∵∠DAE=∠BAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=5.

同理EC=CD=5．

∴BC= BE+EC=10；

②在平行四边形ABCD中，AD= BC= 10，

在Rt△AED中，DE==6.

又∵AE是∠BAD的角平分线，

∴∠FAG=∠DAE．

∵AD是直径，

∴∠AFD=90°，

∴tan∠FAG=，

∴=tan∠DAE===．

考点：1.平行四边形的性质2.圆周角定理3.解直角三角形．