Question

如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点P是边AB上的一个动点(不与点A、点B重合)，点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．

（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？

（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？

（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；

（2）AP的长为1或3；

（3）若CE与点A在同一直线上，AP=，若CE与QF在同一直线上，AP=2．

【解析】

试题分析：（1）先画出示意图，由折叠知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，进而可由AB边的关系知，若E平分FP，则BP=AB，AP=AB．由已知分析易得CP⊥QP，则△QAP∽△PBC，即由边之间的成比例得关于AQ的方程，解出即可;

（2）由（1）易得EP=BP，FP=AP，PB+AP=10．线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2则表示EF=2，但有两种可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到两个关系式，易得结论;

（3）“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者，思考点P运动即折纸特点，QF不能与A共线．当CE与QF共线时，P点恰为AB中点，如图，两线段都在CD上．当CE与A共线时，即连接对角线AC，CE在AC上，此时△AEP∽△ABC，进而AP的长易得．

试题解析：（1）由△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，则△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE

∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．

∵EF=EP，

∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．

∵AB=4，

∴PB=AB =，

∴APAB =．

∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），

∴∠QPA+∠CPB=90°．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠CPB+∠PCB=90°，

∴∠QPA=∠PCB，

∴△QAP∽△PBC，

∴，

∴，

∴；

（2）由题意，得PF=EP+2或EP=FP+2．

当EP﹣PF=2时，

∵EP=PB，PF=AP，

∴PB﹣AP=2．

∵AP+PB=4，

∴2BP=6，

∴BP=3，

∴AP=1．

当PF﹣EP=2时，

∵EP=PB，PF=AP，

∴AP﹣PB=2．

∵AP+PB=4，

∴2AP=6．

∴AP=3．

故AP的长为1或3；

（3）①若CE与点A在同一直线上，如图2，连接AC，点E在AC上，

在△AEP和△ABC中，

∠APE=∠B=90°，∠EAP=∠BAC，

∴△AEP∽△ABC，

∴．

设AP=x，则EP=BP=4﹣x，

在Rt△ABC中，

∵AB=4，BC=2，

∴AC=2，

∴.

解得 ．

②若CE与QF在同一直线上，如图3，

∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，

∴AP=EP=BP，

∴2AP=4，

∴AP=2．

考点：四边形综合题．