Question

已知抛物线y=3ax²+2bx+c

（1）若a=b=1，c=-1求该抛物线与x轴的交点坐标；

（2）若a=，c=2+b且抛物线在区间上的最小值是-3，求b的值；

（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

Answer

（1）该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）；

（2）b=3或b=；

（3）存在两个不同实数x，使得相应y=1．

【解析】

试题分析：（1）直接将a=b=1，c=﹣1代入求出即可；

（2）利用当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2；当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2；当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，分别求出符合题意的答案即可；

（3）由y=1得3ax2+2bx+c=1，则△=4b2﹣12a（c﹣1），求出其符号得出答案即可．

试题解析：（1）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为：y=3x2+2x﹣1，

∵方程3x2+2x﹣1=0的两个根为：x1=﹣1，x2=．

∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（，0）；

（2）a=，c﹣b=2，则抛物线可化为：y=x2+2bx+b+2，

其对称轴为：x=﹣b，

当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，

此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，

解得：b=3，符合题意，

当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2，

解得：b=﹣，不合题意，舍去．

当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，

此时﹣3=（﹣b）2+2×（﹣b）b+b+2，

化简得：b2﹣b﹣5=0，

解得：b1=（不合题意，舍去），b2=．

综上：b=3或b=；

（3）由y=1得3ax2+2bx+c=1，

△=4b2﹣12a（c﹣1），

=4b2﹣12a（﹣a﹣b），

=4b2+12ab+12a2，

=4（b2+3ab+3a2），

=4[（b+a）2+a2]，

∵a≠0，△＞0，

所以方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根，

即存在两个不同实数x，使得相应y=1．

考点：二次函数综合题．