Question

如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；

（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2，求的值．

图1                             图2

Answer

（1）证明见解析；

（2）BC=4；

（3）．

【解析】

试题分析：（1）连接BD、DO，OE，只要证明∠ODE=90°，OD是半径，就可得到DE是⊙O的切线；

（2）根据△ADB∽△BDC，从而根据相似比不难求得BD的长；

（3）根据平行线分线段成比例进行分析．

试题解析：（1）如图1，连接BD，OD，OE.

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠CDB=90°.

∵E是BC中点，

∴DE=EC=EB，

又∵OD=OB，OE=OE，

∴△ODE≌△OBE（SSS），

∴∠ODE=∠OBE=90°，

∴OD⊥DP，

∴PD是⊙O的切线；

（2）∵OB=BP，∠ODP=90°，

∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD.

∴△ODB是等边三角形.

∴∠DOB=60°.

∴∠A=30°，

又∵∠ABC=90°，

∴∠C=60°.

∴∠CBD=30°.

∴，，

设，，

∵AD=6，

∴.

∴.

∴BC=4；

（3）如图2，连接BD，OE.

∵tan∠C=2，∠CDB=90°，

∴=2.

又∵∠ABD=∠C=60°，

∴=2，

设，，，

∴AC=.

∵O是AB中点，E是BC中点，

∴，

∴，

∴．

考点：圆综合题．