Question

如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，DB⊥BC，DA=DB，点E是BC的中点，DE与AB相交于点G．

(1)求证DE⊥AB；

(2)如果∠FCB=∠FBC=∠DAB，设DF与BC交于点H，求证：DH=FH．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）欲证明DE⊥AB，只需推知AE=BE即可；

（2）欲证明DH=FH，需要证得四边形BDEF是平行四边形．

（1）如图，连接AE．

∵∠BAC=90°，BE=EC，

∴AE=BE=BC．

又∵DA=DB，

∴DE垂直平分AB，即DE⊥AB；

（2）∵∠DBC=90°

∴∠DBA+∠ABC=90°

∵DA=AB，∴∠DBA=∠DAB，

∵∠FBC=∠DAB

∴∠FBC+∠ABC=90°

∵∠AGE=90°

∴BF∥DE．

又∵∠FBC=∠FCB，

∴FB=FC

∵BE=EC，∴FE⊥BC

∴∠DBE=∠BEF=90°

∴DB∥EF，

∴四边形DBFE是平行四边形，

∴DH=FH．

考点：1.平行四边形的判定与性质；2.线段垂直平分线的性质；3.直角三角形斜边上的中线．