Question

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长

线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．

（1）求证：∠GCF=∠FCE；

（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）PG=PB＋DG，证明见解析；（3）存在.3；理由见解析.

【解析】

试题分析：：（1）过点F作FH⊥BE于点H，利用正方形的性质，证得△BAP≌△HPF得出PH=AB，BP=FH进一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°-45°=45°得出结论；

（2）延长PB至K，使BK=DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论；

（3）首先判定存在，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，证得△ABP≌△DAM，进一步球的结论即可．

（1）证明：过点F作FH⊥BE于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90º,AB=BC，

∴∠BAP＋∠APB=90º

∵AP⊥PF,

∴∠APB＋∠FPH=90º

∴∠FPH=∠BAP

又∵AP=PF

∴△BAP≌△HPF

∴PH=AB，BP=FH

∴PH=BC

∴BP＋PC=PC＋CH

∴CH=BP=FH

而∠FHC=90º. ∴∠FCH=CFH=45º

∴∠DCF=90º－45º=45º

∴∠GCF=∠FCE

（2）PG=PB＋DG

证明：延长PB至K，使BK=DG,

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD, ∠ABK=ADG=90º

∴△ABK≌△ADG

∴AK=AG, ∠KAB=∠GAD,

而∠APF=90 º,AP=PF

∴∠PAF=∠PFA=45 º

∴∠BAP＋∠KAB=∠KAP=45 º=∠PAF

∴△KAP≌△GAP

∴KP=PG,

∴KB＋BP=DG＋BP=PG

即，PG=PB＋DG

（3）存在.

如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，

则MD∥PF，且MD=FP，

又∵PF=AP，

∴MD=AP

∵四边形ABCD是正方形 ，

∴AB=AD，∠ABP=∠DAM

∴△ABP≌△DAM

∴AM=BP=2，

∴BM=AB－AM=5－2=3.

∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定．