Question

如图，在平面直角坐标系中，已知OA=2，OC=4，⊙M与轴相切于点C，与轴交于A，B两点，∠ACD=90°，抛物线经过A，B，C三点．

（1）求证：∠CAO=∠CAD；

（2）求弦BD的长；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）8；（3），，，．

【解析】

试题分析：（1）利用切线的性质性质得出∠MCO=90°，进而得出∠OCA=∠MCD=∠MDC，再利用∠OCA+∠OAC=90°求出即可；

（2）利用圆周角定里以及平行线的性质，首先得出四边形COMN为矩形，进而求出BD=2MN；

（3）分别利用当CP=CB时，△PCB为等腰三角形，当BP=BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理求出即可．

（1）证明：如图1，连接MC，

∵⊙M与y轴相切于点C，∴CM⊥OC，

∴∠MCO=90°，

又∵∠ACD=90°

∴AD为⊙M的直径，

∵DM=CM，∠ACD+∠ADC=90°

∴∠MCD=∠MDC，

∵∠OCA+∠ACM=∠OCM=90°

∴∠MCD+∠ACM=90°

∴∠OCA=∠MCD=∠MDC

∵∠OCA+∠OAC=90°

∴∠OAC=∠CAD；

（2）【解析】
如图1，过点M作MN⊥OB于点N，

由（1）可知，AD是⊙M的直径，

∴∠ABD=90°，

∵MN⊥AB，∴∠MNA=90°，

∴MN∥BD，

∴，

∵∠OCM=∠CON=∠MNO=90°，

∴四边形COMN为矩形，

∴MN=CO=4，

∴BD=2MN=8；

（3）【解析】
抛物线的对称轴上存在点P，使ΔPBC是以BC为腰的等腰三角形.

在⊙M中，弧AC=弧AC，∴∠ADC=∠ABC,

由（1）知，∠ADC=∠OCA,

∴∠OCA=∠OBC

在Rt△CAO和Rt△BOC中，

tan∠OCA=

∴tan∠OBC=

∴OB=2OC=8

∴A（2,0），B（8,0）

∵抛物线经过A，B两点，

∴A，B关于抛物线的对称轴对称，其对称轴为直线：；

当CP=CB=5时，△PCB为等腰三角形，

在Rt△COB中，

如图，在Rt△CM中，

80－25=55

,

∴

同理可求的坐标是

当BP=BC=5时，△PCB为等腰三角形，

∴

同理可得坐标为

∴符合条件的点P有四个，坐标分别为，，，．

考点：二次函数综合题．