Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E，F在边AB上，点G在边BC上．

⑴求证：△ADE≌△BGF；

⑵若正方形DEFG的面积为16，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）cm．

【解析】

试题分析：（1）先根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠A=45°，再根据四边形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出结论；

（2）过点C作CG⊥AB于点G，由正方形DEFG的面积为16cm2可求出其边长，故可得出AB的长，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求出AD的长，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的对应边成比例即可求出AC的长．

试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠B=∠A=45°，

∵四边形DEFG是正方形，

∴∠BFG=∠AED=90°，

故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，

∵在△ADE与△BGF中，

，

∴△ADE≌△BGF（ASA）；

（2）【解析】
过点C作CG⊥AB于点H，

∵正方形DEFG的面积为16cm2，

∴DE=AE=4cm，

∴AB=3DE=12cm，

∵△ABC是等腰直角三角形，CH⊥AB，

∴AH=AB=×12=6cm，

在Rt△ADE中，

∵DE=AE=4cm，

∴AD=cm，

∵CH⊥AB，DE⊥AB，

∴CH∥DE，

∴△ADE∽△ACH，

∴，即，

解得：AC=cm．

考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.等腰直角三角形．