Question

已知关于x的一元二次方程x²+(m+3)x+m+1=0．

⑴求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

⑵若x₁，x₂是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer

（1）证明见解析；（2）m=-3时，x1=，x2=-；m=1时，x1=-2+，x2=-2-.

【解析】

试题分析：（1）根据关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况；（2）根据根与系数的关系求得x1+x2=-（m+3），x1•x2=m+1；然后由已知条件“|x1-x2|=”可以求得（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=8，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．

试题解析：（1）证明：∵△=（m+3）2-4（m+1）=（m+1）2+4

∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0

∴原方程总有两个不相等的实数根

（2）∵x1，x2是原方程的两根

∴x1+x2=-（m+3），x1•x2=m+1…5分

∵|x1-x2|=

∴（x1-x2）2=（）2

∴（x1+x2）2-4x1x2=8

∴[-（m+3）]2-4（m+1）=8∴m2+2m-3=0

解得：m1=-3，m2=1

当m=-3时，原方程化为：x2-2=0

解得：x1=，x2=-

当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0

解得：x1=-2+，x2=-2-

考点: 1.根的判别式；2.根与系数的关系．