Question

如图，在中，AB=AC，以AB为直径的交BC于点M，于点N.

(1)求证：MN是⊙O的切线；

(2)若，AB=2，求图中阴影部分的面积.

Answer

(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）有切点，需连半径，证明垂直，即可；

（2）求阴影部分的面积要把它转化成S梯形ANMO-S扇形OAM，再分别求的这两部分的面积求解．

试题解析：（1）证明：连接OM．

∵OM=OB，

∴∠B=∠OMB．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴∠OMB=∠C．

∴OM∥AC．

∵MN⊥AC，

∴OM⊥MN．

∵点M在⊙O上，

∴MN是⊙O的切线．

（2）【解析】
连接AM．

∵AB为直径，点M在⊙O上，

∴∠AMB=90°．

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°．

∴∠AOM=60°．

又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，

∴∠AMN=30°．

∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=．

∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=

∴S梯形ANMO=，S扇形OAM=，

∴S阴影=．   

考点: 切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形．